Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – w analizie funkcjonalnej przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $X$ oznacza się często $X *$ lub $X'$ . Parę $(X, X *)$ nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego^[1]. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn^[2], transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana) / espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder^[3], adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu^[4].

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę ^{[uwaga 1]}, podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór $X *$ wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

$\varphi \colon X \to K$

nazywa się przestrzenią sprzężoną do $X$ .

[edytuj] Uwagi

Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli $\varphi, \psi \in X^*$ , zaś $a$ jest skalarem, to

$(\varphi + \psi)(x) = \varphi(x) + \psi(x)$

$(a\varphi)(x) = a\varphi(x)$

dla wszystkich $x \in X$ .

W przypadku, gdy nie zakłada się o $X$ nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń $X = L p ([0,1])$ dla $0 < p < 1$ ^[5]. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy'ego $H p$ dla $0 < p < 1$ ^[6]
Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą X ^* z wypukłymi podzbiorami X.
- Funkcjonały Minkowskiego są podliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami^[7].
- Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli $X$ jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a $p$ półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu $x_0\in X$ istnieje funkcjonał liniowy $\varphi$ na przestrzeni $X$ taki, że $\varphi(x_0) = p(x_0)$ i
$|\varphi(x)| \leqslant p(x)$ dla $x \in X$ .
Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do $x, y \in X$ pisze się często $x^*, y^* \in X^*$ . Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast $\varphi(x)$ bądź $x * (x)$ pisze się po prostu $\varphi x$ lub $x * x$ . W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu $X$ oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni $X *$ można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

$\|x^*\|=\sup\{|x^*x|\colon \|x\| \leqslant 1\}$ .

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni $X *$ często oznacza się tym samym symbolem, co normę w $X$ . W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. $\|y\|_{X^*}$ .

Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną metryką modułową są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa, przestrzeń $X *$ jest przestrzenią Banacha (bez względu na to, czy jest nią $X$ ).
Jeżeli $X *$ jest przestrzenią ośrodkową, to istnieje zbiór przeliczalny $A *$ , zawarty w kuli jednostkowej przestrzeni $X *$ taki, że

$\|x\|=\sup\{|x^*x|\colon\, x^*\in A^*\}$ dla $x\in X$ .

Jeżeli $X *$ jest przestrzenią ośrodkową, to $X$ też nią jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni $L^1(\mathbb{R})$ jest przestrzeń $L^\infty(\mathbb{R})$ , która nie jest ośrodkowa.

[edytuj] Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli $σ$ jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej $Y$ , to symbolem $σ w$ oznacza się słabą topologię w $Y$ , to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z $Y *$ są ciągłe.

W przestrzeni $Y *$ można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

$\Phi_y \colon Y^*\to K,\; y\in Y$

postaci

$\Phi_y y^* = y^* y,\, y^*\in Y^*$

jest ciągłe. $Y *$ z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli $X$ jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni $X *$ można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

mocną topologię $τ *$ , czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X *$ ,
słabą topologię $(τ *) w$ ,
*-słabą topologię $\tau^{w^*}$ ,

Zachodzi między nimi następujący związek:

$\tau^{w^*}\subseteq (\tau^*)^w \subseteq \tau^*$ ,

przy czym

$\tau^{w^*}= (\tau^*)^w$

wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy $X *$ jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni $X *$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory $X *$ są ograniczone.
Jeśli $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór $X *$ jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest skończenie wymiarowa.

[edytuj] Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni $X *$ – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné^[8].

Niech dla każdego $x^*\in X^*$ oraz dla każdego ciągu $(x n)$ punktów przestrzeni $X$ zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

$B(x^*, (x_n))=\{y^*\in X^*\colon |(y^*-x^*)x_n|<1,\, n\in \mathbb{N}\}$ .

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni $X *$ , którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń $X *$ z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol $\tau^{bw^*}$ oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

$\tau^{w^*}\subseteq \tau^{bw^*} \subseteq \tau^*$ .

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach $X *$ . Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli $(x^*_n)$ jest ograniczonym ciągiem punktów $X *$ , to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu $x_0^*$ tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do $x_0^*$ .

Mimo, iż $X *$ z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni $X$ z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli

X

jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

$\tau^{w^*}=\tau^{bw^*}$ .

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli

X

jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

$\tau^{w^*}\neq\tau^{bw^*}$ .

[edytuj] Twierdzenie Kreina-Šmuliana

Osobny artykuł: twierdzenie Banacha-Kreina-Šmuliana.

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Kreina-Šmuliana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Kreina-Šmuliana) udowodnione w 1940 przez Marka Kreina i Witolda Lwowicza Šmuliana^[9].

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz $B *$ będzie kulą jednostkową w $X *$ . Jeśli $C$ jest wypukłym podzbiorem $X *$ , to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t > 0$ zbiór

$C\cap tB^*$

jest *-słabo domknięty.

[edytuj] Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

wszystkie przestrzenie Hilberta,
przestrzeń funkcji ciągłych znikających w nieskończoności,
przestrzenie ciągów ograniczonych i ciągów zbieżnych do zera,
przestrzenie L^p,
przestrzenie Sobolewa

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

[edytuj] Przestrzenie Hilberta

Osobny artykuł: twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta).

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego $x^*\in H^*$ istnieje element $a\in H$ taki, że

$x^*x=(x|a)\,$

dla każdego $x\in H$ . Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta $H$ jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z $H *$ . Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

[edytuj] Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

$f\colon \Omega\to \mathbb{C}$ ,

gdzie $Ω$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje zbiór zwarty $C\subseteq \Omega$ taki, że

$|f(x)|<\varepsilon$ dla $x\in \Omega\setminus C$ .

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej $Ω$ , znikających w nieskończoności oznacza się symbolem $C 0 (Ω)$ .

Gdy $Ω$ jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu $C (Ω)$ zamiast $C 0 (Ω)$ .

[edytuj] Twierdzenie Riesza

Niech $Ω$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego $x^*\in C_0(\Omega)^*$ istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska $\mu\colon \mathcal{B}(\Omega)\to \mathbb{C}$ taka, że

$x^*x=\int\limits_\Omega x(t)\mu(dt)$

dla każdego $x\in C_0(\Omega)$ . Ponadto

$\|x^*\|=|\mu|(\Omega)$ ,

gdzie $| μ |$ oznacza wahanie całkowite miary $μ$ . Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces ^[10].

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909^[11]^[12] Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy $Ω = [a, b]$ (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy $Ω = [a, b] n$ został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona^[13].

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937 ^[14], a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych^[15]. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow^[16] i Shizuo Kakutani^[17].

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

[edytuj] Przestrzenie c i c₀

Niech $c$ i $c 0$ oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie $c *$ i $c_0^*$ są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią $\ell^1$ , tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni $c 0$ i $c$ .

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

Jeśli $x^*\in c_0^*$ , to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_n)\in \ell^1$ taki, że

$x^*x=\sum_{n=1}^\infty t_ns_n$

dla każdego $x=(t_n)\in c_0$ . Z drugiej strony, odwzorowanie $x *$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli $x^*\in c^*$ , to istnieje dokładnie jeden ciąg $y=(s_0, s_1, s_2, \ldots )\in \ell^1$ taki, że

$x^*x=ts_0+\sum_{n=1}^\infty(t_n-t)s_n$ ,

dla każdego $x=(t_n)\in c$ , gdzie $t$ jest granicą ciągu $(t n)$ . Na odwrót, $x *$ określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

$c_0^*=c^*=\ell^1$ .

[edytuj] Przestrzenie L^p

Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech $\mathcal{A}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru $Ω$ oraz niech $μ$ będzie miarą σ-skończoną określoną na $\mathcal{A}$ . Ponadto, niech $p$ będzie ustaloną liczbą z przedziału $[1, \infty)$ . Niech

$L^p=L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)$

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji $\mathcal{A}$ -mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli $\Omega=\mathbb{N}, \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ oraz $μ$ jest miarą liczącą, to

$L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)=\ell^p$ ,

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni $\ell^p$ szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

[edytuj] Twierdzenie Riesza

Jeśli $x^*\in X^*$ , to istnieje dokładnie jedna $\mathcal{A}$ -mierzalna funkcja $y$ taka, że

$x^*x=\int\limits_\Omega x(t)y(t)\mu(dt)$

dla każdego $x\in L^p$ . Przy czym, gdy

$1<p<\infty$ , to $y\in L^q$ oraz $\|x^*\|=\|y\|_{L^q}$ , gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ ,
$p=1\,$ , to $y\in L^\infty$ oraz $\|x^*\|=\|y\|_{L^\infty}$ .

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do $L p$ jest izometrycznie izomorficzna z $L q$ , gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ (przyjmując ewentualnie umowę, że $\tfrac{1}{\infty}=0$ – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

$(L^p)^*=L^q\,$ .

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909^[18] w przypadku, gdy $Ω$ jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue'a oraz $1<p<\infty$ . Przypadek dla $p = 1$ udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus^[19].

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli $x\in \ell^\infty$ , tzn. $x$ jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej $B$ . Wówczas ciąg $x$ można utożsamiać z funkcją

$x\colon \mathbb{N}\to B$ .

Skoro $\mathbb{N}$ jest przestrzenią dyskretną, a $B$ przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to $x$ jest funkcją ciągłą. Jeżeli $\beta \mathbb{N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni $\mathbb{N}$ , to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie $β x$ funkcji $x$ na $\beta \mathbb{N}$ (postać $β x$ nie zależy od wyboru kuli $B$ ). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni $\ell^\infty$ odpowiada pewien element przestrzeni $C(\beta \mathbb{N})$ . Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej $\beta\mathbb{N}$ jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli $y\in C(\beta\mathbb{N})$ , to również $y|_{\mathbb{N}}$ jest ograniczona, czyli

$y|_{\mathbb{N}}\in \ell^\infty$ .

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

$\ell^\infty=C(\beta \mathbb{N})$

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń $(\ell^\infty)^*$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $\beta \mathbb{N}$ .

W przypadku przestrzeni $L^\infty=L^\infty(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ można uogólnić powyższą metodę szukania opisu $(L^\infty)^*$ zastępując uzwarcenie Čecha-Stone'a przestrzeni $Ω$ przestrzenią Stone'a $S$ algebry miary $μ$ , to znaczy przestrzeni Stone'a ilorazowej algebry Boole'a

$\mathcal{P}(\Omega)/\mathcal{N}_\mu$ ,

gdzie $\mathcal{N}_\mu$ jest ideałem podzbiorów $μ$ -miary zero zbioru $Ω$ . Wówczas $(L^\infty)^*$ można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na $S$ .

[edytuj] Przestrzenie Sobolewa

Osobny artykuł: przestrzeń Sobolewa.

Zobacz też: notacja wielowskaźnikowa.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W m, p (Ω)$ dla $1 \leqslant p < \infty$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $Ω$ o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $Ω$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni $\mathbb{R}^k$ oraz $1\leqslant p< \infty$ . Dodatkowo niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m$ , tzn.

$N=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~1,$

oraz $L^p_N=L^p\times \ldots \times L^p$ , czyli niech $L^p_N$ będzie produktem $N$ egzemplarzy przestrzeni $L p$ . Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(u_1, \ldots, u_N)\|=\left(\sum_{j=1}^N(\|u_j\|_{L^p})^p\right)^{\frac{1}{p}}$ .

Przestrzeń $(W m, p (Ω)) *$ jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią $Y$ dystrybucji $T$ na $Ω$ takich, że

$T=\sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m}~(-1)^{|\alpha|}D^\alpha T_{v_\alpha}$ ,

dla pewnego $v=(v_\alpha)_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant m} \in L_N^q$ i $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$ . Ponadto,

$\|T\|_Y=\inf \|v\|_{L^q_N}$ ,

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L^q_N$ , dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni $(W m, p (Ω)) *$ dla $1 \leqslant p < \infty$ . Mianowicie, przestrzeń $(W m, p (Ω)) *$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni $L^q:=L^q_\sim$ wyposażonej w normę

$\|v\|_{L^q_\sim}=\sup\{\langle u,v\rangle\colon\, u\in W^{m,p}(\Omega),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega)} \leqslant 1\}$ ,

tzn.

$(W^{m,p}(\Omega))^*=\overline{L^q_\sim}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p$ .

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej

Osobny artykuł: przestrzeń refleksywna.

Ponieważ przestrzeń $X *$ sama w sobie jest przestrzenią unormowaną (a więc przestrzenią liniowo-topologiczną, jeśli rozważać w niej inne naturalne topologie), to można rozważać przestrzeń do niej sprzężoną $(X *) *$ , oznaczaną dalej symbolem $X^{**}\,$ . Dodatkowo oznacza się

$\left(X^{(n)}\right)^*=X^{(n+1)}\,$ ,

gdzie liczby w nawiasie oznaczają liczbę gwiazdek. Własności przestrzeni $X * *$ mają szczególne znaczenie podczas badania przestrzeni unormowanych. Odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x\,$

nazywane jest kanonicznym zanurzeniem przestrzeni $X$ w przestrzeń $X * *$ . W związku z tym, iż odwzorowanie $κ$ jest różnowartościowe, wygodnie jest czasem dokonywać utożsamienia $X$ z podprzestrzenią $κ(X)$ przestrzeni $X * *$ . Klasyczne twierdzenie Goldstine'a^[20] mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie $κ$ jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w $X * *$ w tzw. $X *$ -topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni $X * *$ . Przestrzenie unormowane takie, że

$\kappa(X)=X^{**}\,$

nazywane są przestrzeniami refleksywnymi (oczywiście, każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha jako przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią Banacha $X * *$ ). Przestrzenie refleksywne stanowią ważną klasę przestrzeni Banacha ze względu na ich dobre własności.

[edytuj] Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

Istnieje związek między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X *$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$ ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę przedstawia tabela:

$X *$ jest refleksywna, jeśli:	$X *$ ma własność Radona-Nikodyma, jeśli:
$X * * * *$ jest silnie wypukła
$X * * $ jest gładka (ang. smooth*^{[uwaga 2]})	$X * * *$ jest silnie wypukła.
$X * *$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X * *$ jest gładka
$X $ jest silnie gładka (ang. very smooth*^{[uwaga 2]})	$X *$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X *$ jest silnie gładka

gdzie:

przestrzeń $X$ jest gładka, gdy dla każdego $x\in X$ takiego, że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden $x^*\in X^*$ taki, że $\|x^*\|=1$ oraz $x * x = 1$ .
przestrzeń $X$ jest silnie gładka, gdy jest gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^*$ , takie jak w wyżej, jest ciągłe w sensie $(X, \tau)\to (X^*, (\tau^*)^w)$ ^{[uwaga 3]}.
przestrzeń $X$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukłą, gdy dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}\cup \{0\}}$ punktów tej przestrzeni takich, że $\|x_n\|=1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz takiego, że jeśli $\lim_{n\to\infty}\|x_n+x_0\|=2$ , to istnieje słaba granica $x_n\to x_0$ .

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera^[21]:

jeśli $X * * *$ jest silnie wypukła oraz $X *$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową $Y$ dla której odwzorowanie kanoniczne $X\to Y^*$ jest izometrią, to $X$ jest przestrzenią refleksywną.

[edytuj] Przypisy

↑ Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.
↑ ^2,0 ^2,1 Polska terminologia tej nazwy nie jest ustalona
↑ Jeśli $X$ jest przestrzenią gładką, to odwzorowanie to jest ciągłe jako przekształcenie $\scriptstyle{(X, \tau) \to (X^*, \tau^*)}$ .

[edytuj] Bibliografia

↑ Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences”. 206, ss. 1701–1704 (1938). Paryż (fr.).
↑ Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 157, ss. 214-229 (1927) (niem.).
↑ Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”. 2, ss. 183–196 (1930). Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne (niem.).
↑ Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”. 41, ss. 252–267 (1940). Princeton (ang.).
↑ Joel H. Shapiro. Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex F-spaces. „Israel Journal of Mathematics”. 7, ss. 369-380 (1969). Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09].
↑ Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro. An F-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms. „Israel Journal of Mathematics”. 20, ss. 282-291 (1975). Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09].
↑ Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, ss. 198-219 (1897). Göttingen (niem.).
↑ J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950)
↑ Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”. 41, ss. 556–583 (1940). Princeton (ang.). [dostęp 12 lipca 2009].
↑ William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES (ang.). Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 11 lipca 2009].
↑ Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977
↑ Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62
↑ Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438
↑ Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, ss. 320–330.
↑ Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190
↑ A. D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238
↑ Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537
↑ Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.
↑ Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221
↑ Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), 125–131
↑ Ivan Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52(1975), 166-168

[edytuj] Literatura

Robert R. Adams: Sobolev Spaces. Acadamiec Press, 1975. ISBN 0120441500.
Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 9780387281414.
Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5.
Julian Musielak. Jak powstawała analiza funkcjonalna. „Wiadomości Matematyczne”. 43 (2007). Polskie Towarzystwo Matematyczne. Warszawa. ISSN 0373-8302 (pol.). [dostęp 11 lipca 2009].
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.
Laurent Schwartz: Théorie des distributions. Hermann, 1950.

[4] Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.

[ust-21] 2,0 ^2,1 Polska terminologia tej nazwy nie jest ustalona

[22] Jeśli $X$ jest przestrzenią gładką, to odwzorowanie to jest ciągłe jako przekształcenie $\scriptstyle{(X, \tau) \to (X^*, \tau^*)}$ .

[0] Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences”. 206, ss. 1701–1704 (1938). Paryż (fr.).

[1] Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 157, ss. 214-229 (1927) (niem.).

[2] Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”. 2, ss. 183–196 (1930). Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne (niem.).

[3] Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”. 41, ss. 252–267 (1940). Princeton (ang.).

[5] Joel H. Shapiro. Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex F-spaces. „Israel Journal of Mathematics”. 7, ss. 369-380 (1969). Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09].

[6] Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro. An F-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms. „Israel Journal of Mathematics”. 20, ss. 282-291 (1975). Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.09].

[7] Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, ss. 198-219 (1897). Göttingen (niem.).

[8] J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950)

[9] Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”. 41, ss. 556–583 (1940). Princeton (ang.). [dostęp 12 lipca 2009].

[10] William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES (ang.). Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 11 lipca 2009].

[11] Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977

[12] Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62

[13] Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438

[14] Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, ss. 320–330.

[15] Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190

[16] A. D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238

[17] Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537

[18] Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.

[19] Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221

[20] Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), 125–131

[23] Ivan Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52(1975), 166-168

[1]

[2]

[3]

[4]

[uwaga 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[uwaga 2]

[uwaga 3]

[21]

Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

[edytuj] Topologie w przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Ograniczona topologia *-słaba

[edytuj] Twierdzenie Kreina-Šmuliana

[edytuj] Reprezentacje elementów

[edytuj] Przestrzenie Hilberta

[edytuj] Przestrzenie funkcji ciągłych

[edytuj] Twierdzenie Riesza

[edytuj] Przestrzenie c i c₀

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

[edytuj] Przestrzenie L^p

[edytuj] Twierdzenie Riesza

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

[edytuj] Przestrzenie Sobolewa

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Literatura

Osobiste

Przestrzenie nazw

Warianty

Widok

Działania

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla edytorów

Drukuj lub eksportuj

Narzędzia

Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

[edytuj] Topologie w przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Ograniczona topologia *-słaba

[edytuj] Twierdzenie Kreina-Šmuliana

[edytuj] Reprezentacje elementów

[edytuj] Przestrzenie Hilberta

[edytuj] Przestrzenie funkcji ciągłych

[edytuj] Twierdzenie Riesza

[edytuj] Przestrzenie c i c0

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

[edytuj] Przestrzenie Lp

[edytuj] Twierdzenie Riesza

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

[edytuj] Przestrzenie Sobolewa

[edytuj] Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

[edytuj] Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Literatura

Osobiste

Przestrzenie nazw

Warianty

Widok

Działania

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla edytorów

Drukuj lub eksportuj

Narzędzia

[edytuj] Przestrzenie c i c₀

[edytuj] Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c₀

[edytuj] Przestrzenie L^p